선단 자성체를 이용한 비선형, 다중 안정성 압전 에너지 수확기의 광대역, 대변위 동특성 해석 :Nonlinear dynamic analyses on multi-stable cantilever piezoelectric energy harvesters using tip magnets for broad frequency band and large amplitude vibrations

김필기

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자료유형: 학위논문

저자정보: 김필기 (중앙대학교, 중앙대학교 대학원)

지도교수: 석종원

발행연도: 2013

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2017

비선형 공진을 이용한 광대역 진동 에너지 수확기

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2013

광대역/대변위 진동에 기초한 역학적 에너지 수확기 개발

김필기 , 정지현 , 이수영 외 1명 한국소음진동공학회 학술대회논문집 2013.04 학술대회자료

선단 자성체를 이용한 비선형, 다중 안정성 압전 에너지 수확기의 광대역, 대변위 동특성 해석

김필기 기계공학부 2013.01 학위논문

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본 연구에서는 광대역 주파수에서 효과적으로 진동 에너지를 추출할 수 있는 다중 안정성 에너지 수확기 (multi-stable energy harvester)에 대한 비선형 동특성 해석 연구가 수행된다. 다중 안정성 에너지 수확 시스템의 기본 구조는 선단 자성체 (magnetic tip)를 포함하는 바이모프 캔틸레버 보 (bimorph cantilever beam)와 한 쌍의 외부 영구 자석 (external permanent magnets)으로 구성된다. 본 논문에서 제안하는 두 종류의 에너지 수확기는 1) 선단 영구 자석과 외부 영구 자석 간의 자기 반발력 (magnetic repulsion) 또는 2) 선단 연 자성체 (soft magnetic tip)와 외부 영구 자석 간의 자기 흡인력 (magnetic attraction)에 기인하여, 다중 정적 평형 상태 (multiple static equilibrium states)를 나타낼 수 있다.
이러한 다중 안정성 에너지 수확기의 비선형 동적 거동 및 이에 따른 에너지 수확 특성을 고찰하기 위하여, 일련의 수학적 모델링 및 이론적 해석 연구가 수행된다. 본 연구에서, 바이모프 캔틸레버 보 구조는 오일러-베르누이 보 이론 (Euler-Bernoulli beam theory)과 선형 압전 이론 (linear piezoelectricity)을 바탕으로 기술된다. 한편, 선단 연 자성체 및 선단/외부 영구 자석은 자기 쌍극자 모델 (Gilbert model of a magnetic dipole)을 이용하여 기술된다. 특히, 선단 연 자성체의 비선형 자화 (nonlinear magnetization) 특성을 고려하기 위하여, 선형/포화 자화 모델 (linear/saturated magnetization model)이 추가적으로 고려된다. 최종적으로, 다중 안정성 에너지 수확기는 갤러킨 근사 (Galerkin approximation)를 포함한 일련의 수학적 유도 과정을 통하여, 선단 변위에 대한 비선형 전자기-기계 진동자 (nonlinear electro-magneto-mechanical oscillator) 모델로 표현될 수 있다.
다중 정적 평형 상태의 형성 메커니즘을 살펴보기 위하여, 제안된 에너지 수확 시스템에 대한 분기 해석 (bifurcation analysis)이 수행된다. 이러한 분기 해석에서 분기 파라미터 (bifurcation parameter)는 선단 자성체와 외부 자석 간의 위치 변수로 주어진다. 분기 해석 결과는 최소 2개에서 최대 5개의 다중 정적 평형 상태 (bi-stable to penta-stable state)가 존재할 수 있음을 보여준다. 이러한 다중 안정성은 pitchfork/saddle-node/degenerate bifurcation 등을 포함한 매우 복잡한 분기 거동에 의해 발생된다.
본 에너지 수확기의 다중 안정성은 강한 비선형성을 가지는 포텐셜 에너지 함수 (potential energy function)에 기인한다. 따라서, 에너지 수확 시스템의 강제 진동 해는 일반적인 반해석적 방법으로 구하여질 수 없다. 본 연구에서는, 다중 안정성 에너지 수확기의 비선형 거동을 고찰하기 위하여, 고차원 조화균형법 (high-dimensional harmonic balance; HDHB)을 이용한 주파수 응답 해석이 수행된다. 또한, 표준 HDHB 해석에서 발생하는 앨리어싱 효과 (aliasing effect)를 제거하기 위하여, 수정된 HDHB 해석 기법이 새로이 제안된다. 이를 이용함으로써 비선형 에너지 수확기의 정밀한 주파수 응답 곡선이 구하여진다. 이러한 주파수 응답 곡선을 살펴봄으로써, 다중 안정성 에너지 수확 시스템에 대한 비선형 동특성 및 에너지 수확특성이 상세하게 분석되며, 이에 대한 잠재적 활용 가능성 및 특/장점 등이 평가된다.

This dissertation explores the use of nonlinear multi-stable energy harvesters that can effectively extract ambient vibratory energy over a broad frequency band. The basic structure of the harvester system comprises a bimorph cantilever beam with a magnetic tip and a pair of external permanent magnets with identical geometric and magnetic properties.
The two types of energy harvesters proposed in this dissertation use: 1) the magnetic repulsion effect between a permanent magnetic tip and two external magnets, and 2) the magnetic attraction effect between a soft magnetic tip and two external magnets. As a result of the magnetic repulsion or attraction effect, the associated energy harvester can possess multiple static equilibrium states.
In order to investigate the nonlinear dynamic behaviors and the resulting energy harvesting characteristics of the multi-stable energy harvesters, we focused on the development of a sequence of mathematical modeling process and analytic methods. For the modeling of the bimorph beam, the Euler-Bernoulli beam theory and the linear piezoelectricity were employed. For the modeling of the magnets, the Gilbert model of a magnetic dipole was used. In particular, the magnetic saturation characteristic of the soft magnetic tip was reflected by incorporating the linear/saturated magnetization model. In the final stage of the modeling process, the multi-stable energy harvesters were presented as nonlinear electro-magneto-mechanical oscillator models through a series of mathematical treatments that aimed to discretize the governing field equations, including the Galerkin approximation procedure.
In order to investigate the formation mechanisms of the multi-stable equilibrium states, bifurcation analyses were performed on the proposed energy harvester systems. In these analyses, the codimension-2 bifurcation parameters were given by the geometric parameters in relation to the positions of the magnetic tips and the two external magnets. The results of the analyses show that a minimum of two and a maximum of five stable states (from a bi-stable state to a penta-stable state) can exist. Such multi-stability in the present energy harvester system is caused by very complex bifurcation behavior, including various pitchfork, saddle-node, and degenerate bifurcations.
The multi-stability characteristics of the present energy harvesters are mostly attributed to their potential energy functions, which possess high nonlinearity. Therefore, the forced vibration solutions of these harvester systems cannot be obtained using conventional (semi) analytic methods. In this dissertation, the high-dimensional harmonic balance (HDHB) method was used to obtain solutions to the nonlinear frequency responses of the proposed multi-stable energy harvesters. In addition, in order to eliminate the aliasing effect in the standard HDHB analysis, a modified HDHB method is proposed. Using this modified method, the frequency response diagrams with respect to the present highly nonlinear energy harvesters can be computed very accurately. By investigating the resulting frequency response curves, the nonlinear dynamic and energetic characteristics of the multi-stable energy harvester systems were thoroughly examined, and their potential usability and advantages for efficient energy harvesting over broad-frequency band were inspected and evaluated.

I. Introduction 1
1. Mechanical Energy Harvesting: General Perspectives 2
1.1. Energy Conversion Mechanisms in Vibration-Energy Harvesting 3
1.2. Linear Resonator-Type Energy Harvester with Narrow Operating Frequency Band 5
1.3. Toward Energy Harvesting for Broad Frequency Band and Large Amplitude Vibrations 6
2. Objectives and Scope of the Present Dissertation 14
II. PART A: Multi-stable Magnetic Repulsion Energy Harvester 17
(1) Dynamic Modeling and Bifurcation Analysis 18
1. Introduction 18
2. Tri-stable Energy Harvester: Description and Mathematical Modeling 24
2.1. Modeling of the Bimorph Cantilever Beam System 25
2.2. Nonlinear Magnetic Force and Torque Exerted on the Bimorph Cantilever Tip due to the Magnetic Repulsive Effect 29
2.3. Nondimensionalization and Simplification of the Governing Differential Equations and Boundary Conditions 33
3. Reduced Order Model 38
3.1. Eigensolutions of the Linearized System 38
3.2. Derivation of Orthonormality Conditions for Discretization 41
3.3. Governing Discretized Differential Equations for the Reduced Order Model and Single-Mode Approximation 43
4. Results and Discussion 45
4.1. Bifurcation Analysis for the Fixed Point (Systems Equilibrium State) 45
4.2. Potential Energy Diagrams for the Energy Harvester in Bi-stable and Tri-stable States 51
4.3. Dynamics and Energy Harvesting Characteristics of the Tri-stable Energy Harvester 56
5. Conclusions 61
(2) Frequency Response Analysis on Nonlinear Dynamics and Energetics 63
1. Introduction 63
2. Nonlinear Oscillator Model of a Tri-stable Energy Harvester 69
3. High-Dimensional Harmonic Balance Analysis of a Tri-stable Energy Harvester 75
4. Results and Discussion 82
4.1. Multi-stable Characteristics of Tri-stable Energy Harvester due to Strong Nonlinear Magnetic Repulsion Effect 82
4.2. Nonlinear Resonant Behavior of Tri-stable Energy Harvester in Mono-stable Condition 88
4.3. Potential Well Escape Behavior of Tri-stable Energy Harvester in Multi-stable Condition 96
4.3.1. Characteristics of the Transition from Mono-stable to Bi-stable Conditions 96
4.3.2. Characteristics of the Transition from Mono-stable to Tri-stable Conditions 104
5. Conclusions 111
III. PART B: Multi-stable Magnetic Attraction Energy Harvester 115
(1) Dynamic Modeling and Bifurcation Analysis 116
1. Introduction 116
2. Multi-stable Energy Harvester: Model Description and Mathematical Modeling 122
2.1. Bimorph Cantilever Beam Modeling 124
2.2. Nonlinear Magnetic Attractive Force and Torque on the Soft Magnetic Tip 128
2.3. Nondimensionalization of the Equations 137
3. Reduced Order Model 140
4. Results and Discussion 144
4.1. Bifurcation Analysis of Systems Equilibrium 144
4.2. Potential Energy Diagrams for the Multi-stable Energy Harvester 152
4.3. Numerical Investigations of Dynamic Behaviors of the Multi-stable Energy Harvester 155
5. Conclusions 160
(2) Frequency Response Analysis on Nonlinear Dynamics and Energetics 163
1. Introduction 163
2. Multi-stable Energy Harvester: Model Description 168
3. High-Dimensional Harmonic Balance Analysis of a Multi-stable Energy Harvester 174
4. Results and Discussion 180
4.1. Multi-stable Characteristics of the Present Energy Harvester due to a Strong Nonlinear Magnetic Attraction Effect 180
4.2. Nonlinear Resonant Behaviors of the Multi-stable Energy Harvester under Mono-stable Conditions 184
4.3. Frequency Responses for the Intrawell Motion of the Multi-stable Energy Harvester under Weak Base Excitation 189
4.4. Frequency Responses for the Interwell Motion of the Multi-stable Energy Harvester under Hard Base Excitation 197
5. Conclusions 206
IV. Conclusions 209
Appendix 213
References 220
국문 초록 233
Publications 236

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